La paradoja del cumpleaños

17 02 2007

¿Cual crees que es la probabilidad de que, en un grupo de 50 personas, dos de ellas hayan nacido el mismo día? Seguramente creeras que es muy pequeña, pero es de casi un 90%. Incluso en grupos más pequeños de 30 personas, la probabilidad llega al 70%. Si llegas a una fiesta donde haya suficientes personas desconocidas, es una buena forma de ganar una apuesta casi segura ;).

fathers-day-cake.gif

La fórmula para calcular esta probabilidad es la siguiente, donde n es el número de personas:

image004.gif

Si quieres conocer el porqué de esta fórmula y aprender a utilizarla en una calculadora, lee el resto del artículo. Si las matemáticas no son tu fuerte, baja un poco en la página y disfruta con los dos vídeos.


Música de fondo: What if God was one of us – Alanis Morisette

¿Porqué sucede esto?

La explicación es un poco larga, pero intentaré hacerla lo más sencilla posible.

Primero, ¿qué es la probabilidad?

Una probabilidad es un número entre 0 y 1, en forma decimal o de fracción:

  • 0 es el suceso imposible
  • 1 es el suceso que siempre ocurre
  • 0,7 es el suceso que ocurre el 70% de las veces
  • 1/6 es el suceso que ocurre una de cada 6 veces. 1/6 = 0,16666… = 16,66%

Todos conocéis la fórmula de la probabilidad, aquella que dice que la probabilidad de un suceso es el número de casos posibles dividido entre el número de casos favorables:

formulalaplace.GIF

Por ejemplo, la probabilidad de sacar un 3 en un dado de 6 caras es de 1/6, ya que hay 1 caso favorable {3} de los 6 casos posibles {1,2,3,4,5,6}. La probabilidad de sacar un número par es 3/6, o, simplificando, 1/2: hay 3 casos favorables {2,4,6} de los 6 posibles.

Se puede decir que, para unir probabilidades, se utiliza la multiplicación. Si deseamos averiguar la probabilidad de sacar dos treses seguidos, multiplicaríamos 1/6 · 1/6, con lo que obtendríamos 1/36. Esto significa que de cada 36 veces que tiremos dos dados, aproximadamente en una de ellas obtendríamos dos treses.

combinaciones1.GIF

De las 36 combinaciones posibles, una es la que nos interesa

El último presupuesto que explicaré es el de la probabilidad del contrario. Esta regla es muy simple: si la probabilidad de un suceso es, por ejemplo, 1/6; la probabilidad del suceso contrario será 1 – 1/6, es decir 5/6.

Ejemplo: La probabilidad de sacar 2 ó 5 en un dado de 6 caras es de 2/6=1/3. Entonces, la probabilidad de NO sacar ni 2 ni 5, o, es lo mismo, de sacar 1, 3, 4, ó 6; es de 1-1/3 = 2/3.

Tras unas nociones básicas de probabilidad, demostraremos la fórmula anterior. Para recordar ideas, queremos averiguar la probabilidad de que en un grupo de n personas, dos o más compartan el mismo día de nacimiento.

Para ello averiguaremos la probabilidad de que no coincida ninguno, y después, con la regla de la probabilidad del contrario, averiguaremos la probabilidad de que coincida alguno.

Comenzaremos por el caso más sencillo: una sola persona. Aquí la probabilidad es 1, ya que, si hay uno, es seguro que no compartirá cumpleaños con ningún otro del grupo (no hay nadie).

Si entra una segunda persona y queremos que no coincida con el primero, es necesario que haya nacido en los 364 días restantes, luego la probabilidad de que haya nacido en alguno de esos días y que no coincida con el primero es de 364/365.

La tercera persona del grupo tendrá que haber nacido en los 363 días que no están ocupados, luego la probabilidad será 363/365.

En general, la probabilidad de que una persona no coincida en fecha de nacimiento con el resto del grupo es (365 – (n – 1))/365.

Es 365 – n porque cada vez que preguntamos a alguien su cumpleaños, deja un día menos para el siguiente. Así, si hay 3 personas, solo quedarán 365 – 3 = 362 días. Pero a la última persona sólo le afectan los días que ya han “dicho” los anteriores, no el suyo propio: por esta razón no se resta n sino (n-1): el número de personas menos él.

Ahora queda unir las probabilidades, de forma que ningún cumpleaños coincida con ningún otro.

formula21.GIF

n es, por supuesto, el número de personas.

Si restamos a uno esta cantidad, obtendremos el suceso opuesto: que algún cumpleaños coincida.

formula1.GIF

Esta fórmula es válida, pero utilizando notación factorial, la fórmula queda así.

formulafinal.GIF

Para los que no sepáis que significa el signo ! (factorial), algunos ejemplos:
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1; 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1.

Cómo calcular con la fórmula

En las calculadoras, debéis utilizar la tecla de permutaciones (nPr):

1 – [(] 365 [nPr] número de personas [ división ] 365 [ potencia ] número de personas [)] [=]

O, en calculadoras con dos líneas : 1 – (365 nPr número de personas) : (365 ^ número de personas )

Si tenéis un ordenador a mano, podéis utilizar esta hoja de cálculo:

icono_excel
Descargar hoja de cálculo
con fórmula

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Information

7 responses

9 03 2007
El Señor J

Joder, pensaba que la probabilidad sería mucho menor ^^, un saludo compañero, tienes un blog muy interesante.

11 04 2007
Fernan2

Muy bueno, en la facultad ya nos hizo el truco el profe de estadística, y desde luego acertó ya en enero… claro que eramos muchos!!

12 04 2007
Ricardo

hola, lopoco que vi de este sitio es muy bueno y tengo unapregunta, ¿como puedo calcular el dia de nacimiento de una persona? segun su fecha de nacimiento, espero y deseo su respuesta, gracias!!!

12 04 2007
victorlj92

tomo nota del tema, pronto haré un post sobre eso 🙂

27 05 2007
Probabilidad de ganar un viaje al Caribe « Victor’s Hut

[…] La paradoja del cumpleaños: otro caso de probabilidad engañosa […]

12 06 2007
Charlie ORIÓN

Muy buenas Víctor!!! Estaba buscando por tu blog para ver si tenías algo del robot… ¡¡pero he encontrado de todo menos eso!! Tienes de todo por aquí… y es “extremadamente interesante” como diría el Bicho. En un rato he visto bastantes cosas, aunque ya me había metido otras veces.
No he podido evitar leer lo del cumpleaños, creo que me suena de algo jajaja xD “porque bueno, yo tenía un amigo y un día en una fiesta que…” jeje. Pon el problema de los náufragos y el mono, que está chulo! (te lo mando, por si no lo tienes)
Nos vemos!! Hasta luego!

PD: ¿tus días cuántas horas tienen? no paras de hacer cosas!!

7 08 2007
alienBlog » Probabilidad de ganar un viaje al Caribe

[…] La paradoja del cumpleaños: otro caso de probabilidad engañosa […]

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